Должен ли работодатель продлить отпуск работнику, заболевшему во время отпуска?

Да, должен. Согласно ст. 124 ТК РФ, ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника, в случае временной нетрудоспособности работника. В исключительных случаях, когда предоставление отпуска работнику в текущем рабочем году может неблагоприятно отразиться на нормальном ходе работы организации, допускается с согласия работника перенесение отпуска на следующий рабочий год.