Согласно правилам русского языка оба варианта написания считаются правильными: «по прежнему» и «по-прежнему». Все зависит от того, к какой части речи относится слово.
Когда слово пишется через дефис?
Дефис в слове «по-прежнему» ставится, если слово используется в форме наречия и отвечает на вопрос «как?» Так, в 84 параграфе академического справочника «Правила русской пунктуации и орфографии» сказано, что через дефис пишутся наречия, образованные от прилагательных и местоимений, начинающиеся, в том числе, с по- и оканчивающиеся на -ему, например: по-прежнему.
При морфемном разборе видно, что наречие «по-прежнему» образовано от прилагательного «прежний», приставки «по» и суффикса «ему».
Пример: Но вы мне по-прежнему милы.
Когда пишется раздельно?
Раздельное написание слова используется, когда речь идет о прилагательном с предлогом, где «по» — это предлог, а «прежнему» — прилагательное. Для проверки можно использовать вопрос «по какому?» — то «по прежнему». Также филологи отмечают, что у прилагательного с предлогом в предложении всегда будет зависимое существительное в форме дательного падежа. Оно будет стоять после прилагательного и отвечать вопрос «чему?»
Пример: Машина двигалась по прежнему пути.
Источники:
