Зураб Ачба родился 18 ноября 1958 года в селе Приморское Гудаутского района Абхазской АССР.
В 1976 году окончил Приморскую среднюю школу.
С 1977 года по 1979 год служил в рядах Советской Армии.
В 1980 году поступил на историко-юридический факультет Абхазского Государственного университета.
В 1985 году окончил историко-юридический факультет Абхазского государственного университета по специальности «Правоведение», присвоена квалификация юриста
В органах прокуратуры Республики Абхазия работает с апреля 1994 года.
В апреле 1994 года назначен стажером на должность помощника прокурора Сухумского района.
В мае 1995 года назначен помощником прокурора Сухумского района.
В августе 1997 года переведен на должность заместителя прокурора Сухумского района.
В ноябре 2001 года назначен прокурором Сухумского района.
В ноябре 2005 года назначен прокурором Гулрыпшского района.
В апреле 2008 года присвоен классный чин «Старший советник юстиции».
В апреле 2011 года награжден знаком «За безупречную службу в прокуратуре Республики Абхазия».
В июне 2011 года был назначен прокурором Гагрского района.
В октябре 2014 года был освобожден от занимаемой должности по собственному желанию.
Женат, имеет 3 сыновей.