«Математический папирус Ахмеса» (он же и «Папирус Ринда») — древнеегипетское учебное пособие по арифметике и геометрии периода XII династии эпохи Среднего царства (1985—1795 гг. до н. э.), которое на 33 год правления фараона Апопи (ок. 1550 г. до н. э.) был переписан писцом по имени Ахмес на свиток папируса. Язык: среднеегипетский, иератическое письмо. Нашли его в 1858 году в Фивах и назвали по имени его первого владельца. В 1887 году папирус был переведён и опубликован. Большая часть находится в Британском музее. Она состоит из двух частей: (32 см × 295,5 cм) и (32 см × 199,5 cм). Между ними должен был находиться кусок около 18 см длиной, который считался потерянным, но был обнаружен в 1922 году в музее Нью-Йоркского исторического общества.
Научи нас так счислять дни наши, чтобы нам приобрести сердце мудрое.
Псалтирь, 89:12
Артефакты истории. Помимо папирусов, содержащих сказки и поучения, а также сведения из области медицины и географии, египтяне записали еще и несколько «математических папирусов», изучение которых позволило уяснить, насколько высоким был уровень математических знаний в Древнем Египте. Впрочем, удивляться тут особо не приходится. Каждый год нужно было проводить межевание полей и определять площади наделов. Естественно, без математики было не обойтись и при подсчете и распределении урожая. И в строительстве без нее было не обойтись. Словом, «царице наук» египтяне уделяли вполне заслуженное ей внимание. Не обошли они вниманием также алгебру и геометрию, словом, для своего времени уровень их математического знания и навыки работы с цифрами были на очень высоком уровне. В Египте жил и учился Архимед – уже одно это говорит о том, что… там было чему поучиться.
Задача №48 на определение площади круга. «Папирус Ахмеса»
Естественно, математика египтян сильно отличалась от нашей, и, прежде всего, написанием цифр. Так, цифры от единицы до девятки изображались вертикальными черточками: 1 – I, 2 – II, 9 – IIIIIIIII. Нам это вряд ли покажется удобным, однако египтяне не жаловались. Цифра «10» имела свой собственный знак, имевший вид перевернутого «рогами» вниз камертона. Сотня обозначалась свитой в вопросительный знак веревкой. 1000 – «цветком лотоса». 10000 – изображением… «пальца». 100000 – изображением головастика. А вот чтобы написать 1000000 требовалось нарисовать фигуру сидящего божества с поднятыми кверху руками, настолько это число показалось ему удивительным.
Пользоваться такими цифрами было не более сложно, нежели римскими. Вот, например, число «24». Вот так оно может быть записано римскими цифрами XXIV. А египтянин записал бы его так: два «камертона» и четыре «палочки», разницы практически никакой.
Трудности возникают лишь при записи очень больших чисел. Вот тут уже нужно было потрудиться. Вот как выглядела бы запись иероглифами числа 1124624: «бог, воздевший руки кверху», затем «головастик», за ним два «пальца», потом четыре «лотоса», после которых в два ряда нужно изобразить шесть «веревок», а потом две «десятки» («камертона») и… четыре «палочки». Такая система была удобна для проведения действий по сложению и вычитанию. Десять знаков низшего порядка при этом заменялись одним высшего и наоборот – вот и всё. А вот умножение и деление производить такими цифрами было, напротив, очень сложно. Так, чтобы умножить 15 на 9, египтянину требовалось, прежде всего, составить вот такую таблицу: 1-15, 2-30, 4-60, 8-120, 9-135. Последняя цифра получалась посредством сложения: (1Х15)+(8Х15) = 9Х15.
А как же дроби? О-о-о, там всё было еще сложнее и запутаннее. Чтобы показать, что это дробь, нужно было написать слово «часть», обозначавшееся изображением пустой сливовой косточки. То есть косточка вверху и под ней три палочки будут означать дробь 1/3. Хотите дробь 3/7? Нет ничего проще! Рисуете три «косточки», а под ними семь палочек. И вот тут, что интересно, египтяне озаботились придумыванием специальных иероглифов, которые изображали наиболее употребительные дроби в сокращенном виде. Так, ½ изображалось знаком, похожим на утюг без ручки. Дробь ¼ — «Х». 2/3 — «косточка с двумя палочками, присоединенными к ней снизу».
Знаком сложения являлись… ноги, пара идущих ног ниже колен. В одну сторону смотрят ноги – сложение, в противоположную – вычитание. А вот умножение и деление они производили весьма хитрым способом удвоения и сложения, а деление было действием, обратным вычитанию!
Вычисление площади круга из задачи №48. «Папирус Ахмеса»
В целом это была очень нерациональная и громоздкая система. Вавилоняне в данном случае их обогнали, хотя и отстали в медицине. Впрочем, почему так, понятно. В Вавилоне не бальзамировали, а значит, и не вскрывали трупы. Ну а математика им требовалась точно так же, как и жителям всех цивилизаций речных долин, живших от одного паводка до другого.
Треугольник из задачи №51. «Папирус Ахмеса»
Мерой сыпучих продуктов у египтян был «хекат». В нем содержалось 4,785 литра. Причем «хекат» делился на части: ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Самое забавное то, что все эти дроби египтяне вписывали в мифический «глаз Гора». И каждая часть глаза имела свое числовое значение. Но если все их сложить, то получится дробь 63/64. 1/64 куда-то потерялась. Оказывается, когда злой бог пустыни Сэт разорвал глаз Гора на части, он разбросал их по всему Египту. Но мудрый бог Тот их все нашел и собрал, и только 1/64 часть где-то потерялась. Вот так!
Угломер «секед» (cubit — локоть; palm — ладонь, digit — палец). «Папирус Ахмеса»
Мера длины у египтян называлась «локоть», и равен он был 52,3 см. Каждый локоть делился на 7 «ладоней», а та, в свою очередь, на 4 «пальца», то есть в одном локте было 28 пальцев. Сто локтей составляли хет — «жердь». Для плавающих по Нилу была и особая «речная мера», равная 20000 локтям или 10,5 км.
Наконец, вес у египтян измерялся в «дебенах», а «дебен» был равен примерно 91 грамму. В дебенах измеряли деньги – кольца из золота и меди. Их взвешивали и говорили, сколько дебенов в таком-то количестве колец, поскольку оно обычно всегда бывало разным.
Ну а известно всё из математических папирусов, причем в основном почему-то относящихся к эпохе Среднего царства. Интересно, что это отнюдь не научные трактаты, а своего рода сборники примеров, причем некоторые носят явно шуточный характер. Так, в математическом папирусе, который в настоящее время хранится в Британском музее, таких примеров 80, а в том, что находится в Музее изобразительных искусств имени А.С. Пушкина в Москве и который впервые был переведен и издан академиком В.В. Струве, – 25.
Четырнадцатая задача из так называемого «Московского математического папируса» («Математический папирус Голенищева») — одного из древнейших известных на сегодня математических текстов. Датируется временем около 1850 года до н. э., или на 300 лет раньше, чем папирус Ахмеса. Наверху иератический текст, внизу иероглифическая транскрипция. Текст читается справа налево. Музей изобразительных искусств им. А.С. Пушкина.
Вот один из математических примеров древних египтян на нахождение суммы геометрической прогрессии. «Имеется 7 домов, в каждом доме 7 кошек, каждая кошка съела 7 мышей, каждая мышь съела 7 колосков, а каждый колос может дать 7 мер зерна. Найти сумму домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна». Здесь же был дан и ответ: 19607. То есть задачу эту некто решил правильно.
Даже понятие числа «Х» было известно египтянам, а соответствовало оно слову «куча». Видимо, египетским писцам чаще всего приходилось иметь дело именно с кучами зерна, о количестве которого в этих кучах им было ничего неизвестно. Египетские математики умели вычислять площадь треугольника, объемы усеченной пирамиды и цилиндра – словом, для своего времени решали весьма трудные задачи.
Как они это делали? Вот, например, такая задача: «Определить площадь круглого поля диаметром в 9 хет». Решить ее предлагается следующим образом: отнять 1/9 диаметра, а остаток возвести в квадрат. То есть египтяне вычисляли площадь круга, не привлекая для этого число «pi». Впрочем, ошибались они не намного. И решить эту задачу привычным для нас способом вполне можно, приняв «pi» за 3,16, а не 3,14. Ну а сами египтяне опытным путем нашли отношение 8/9 и им пользовались в повседневной практике. Его точность их при этом вполне устраивала.
Кусочек московского математического папируса. Можно себе представить, как бережно он сегодня хранится и какую стоимость имеет!
Очень кстати оказалась нам и любовь египтян к бюрократии, хотя это, скорее всего, не любовь, а следствие развития государственного аппарата, достигшее определенного уровня. Потому что записывалось буквально всё, что можно записать и сохранить. И очень многие из этих документов благодаря своему несметному количеству сохранились до наших дней и дали поистине бесценные сведения по истории Египта. Ну, а наш рассказ о пользе бюрократических записок древних египтян мы продолжим в следующий раз…
