Как понять матанализ и решать им задачи классической физики | Часть 1

Привет всем

в своих постах я (и многие другие, публикующие сложные расчеты) часто использую интегралы, дифференциальные уравнения и прочие радости математического анализа. Очевидно, что немалое количество читателей сталкивается с проблемой – не совсем понятно, о чем говорит формула на картинке. Так что этот вопрос надо исправлять) Также в предыдущем посте пикабушеники @stormspeller и @Finch182 написали статью, объясняющую, как использовать математический анализ и диффузоры в физике (отдельное спасибо посту за эту тему). Таким образом мы начинаем понимать математический анализ)

Но перед этим загляните в предисловие, желательно сначала прочитать его. Я опущу многие моменты математического анализа. Это потому, что материала достаточно много (что уж говорить, если вы изучали в колледже производные, интегралы и диффузию 2 и более семестров), а часть информации на практике не особо нужна. Эта статья скорее будет направлена ​​на то, чтобы ясно объяснить его роль и принципы в математическом анализе, зачем он нужен и как решать физические задачи. Эту статью следует рассматривать не как учебное пособие, а как точку входа в эту часть математики. Если вы хотите глубже изучить математику, вам следует прочитать учебник для колледжа, а в посте я оставлю ссылки на сайты, где вы сможете изучить технику (т е научиться брать производные, интегрировать, решать дифференциальные уравнения)

Ах да, я сохраню оглавление Части 1, чтобы вы могли видеть, что это за темы и где они здесь, и пропустить то, что вы уже знаете:
1. Почему физика требует математического анализа?
2. Что такое функция? каково это
3. Производные и дифференциалы: как решать большие задачи малыми величинами
4. Что такое точка, зачем она нужна и как она выглядит
5. Дифференциальные уравнения – функциональные уравнения

Во второй части мы применим эти знания к задачам по физике (к сожалению из-за ограничения количества картинок не получается уместить все в одну статью)

Теперь вы можете начать

Зачем физике матанализ?

рассказ о матане я все-таки хочу начать с показа, зачем он нужен. На мой взгляд, удобнее всего это можно отразить на примерах определенных задач, таких как:

Налейте воду в стакан и бросьте туда кубики льда так, чтобы он был почти на уровне воды.
1. Когда кубик остановится, какая часть кубика будет погружена в воду?
2. Как будет двигаться куб после освобождения?

Вроде есть проблема, оба пункта касаются механики, значит, решать их надо схожим образом, да? Но нет! Любой семиклассник сможет решить первый пункт задачи, если назвать ему плотности льда и воды
Но для второго пункта та же формула не сработает. Вы можете попытаться решить ее самостоятельно – даже упрощение не даст никаких результатов. Дело здесь в том, что во втором пункте наше ускорение (т е сила, действующая на кубик льда) и смещение (т е погружение кубика льда в воду) связаны друг с другом. Ну вот скорость достигла предела. Тут становится совершенно непонятно, как пользоваться этими формулами со школы: куб немного сдвинулся — изменились коэффициенты в уравнениях, и вроде понятно, как они изменились, но объединить их все в какую-то форму Разумного решения невозможно. Однако решение все же есть и математический анализ поможет нам его найти

Помимо того, что Матан предлагает нам возможность хотя бы кратко решить проблему, он также предлагает нам более простые решения многих других проблем. Например, для следующих задач:

На этом этапе вы уже можете решить проблему простым способом. Конечно, решение не такое уж и сложное: давление воды на купол равно весу купола (потому что вода протекает только тогда, когда купол полностью заполнен), и если мы мысленно поместим воду над купол ((см рисунок 2 выше), то оба типа воды будут одинаково прижиматься к стенкам купола, разве что в разные стороны (чтобы это понять, можно представить небольшую часть сферы в виде плоскости), то есть скажем , вес купола — это вес духовно добавленной воды над ним. Остаётся только посчитать объём и проблема решена. В моей истории решение может показаться простым, но разобраться в нем сразу бывает довольно сложно. Но математический анализ дает нам второй метод, более сложный в расчетах, но более простой для достижения решения: воспользуемся интегралом для расчета давления, оно будет равно весу купола, тогда задача решена. Думаю второй вариант проще реализовать

В целом, думаю, очевидно, как производные и интегралы облегчают жизнь: они либо упрощают решения, либо даже позволяют их находить

Что такое функция

Что ж, давайте начнем прямо сейчас! Воспользуемся самым простым определением: функция – это зависимость одной величины от другой величины. В противном случае функция присваивает каждому числу (набору чисел) другое число (набор чисел). Величины, от которых зависит функция, называются параметрами. Это также может быть значение другой функции (тогда функция будет называться комплексной функцией). Другая функция может показать зависимость какой-либо величины от нескольких других величин одновременно. Функции указаны следующим образом:

например, записав уравнение обычного равномерного движения (s = v*t), мы показываем, что пройденный путь зависит от скорости движения и времени (примечание: здесь мы трактуем скорость именно как параметр функции, поскольку мы считаем его постоянным во времени, он не зависит от времени). Более того, мы показываем не только от чего зависит путь, но и как: с помощью этого уравнения мы показываем, что путь линейно зависит от скорости и времени. Увеличение скорости в 2 раза – увеличение расстояния в 2 раза, сокращение времени в пути в 3 раза – сокращение расстояния в 3 раза. Это еще один пример функции - закона Ома (каждый пионер знает, сила тока U на R: I = U/R). Здесь мы также показываем, что сила тока зависит от напряжения и сопротивления, и, как и в примере выше, используем формулы, отражающие характер соединения. Или это другая площадь круга (помните, дорогие друзья, площадь круга — это площадь круга: π r^2) — здесь мы покажем, как площадь зависит от радиуса. Вот еще несколько примеров функций, уже с графиками (если что, на графике видно, чему равна функция в каждой точке на определенном интервале)

Здесь все функции рассматриваются как функции с одним параметром, а все остальные буквы мы рассматриваем как константы, поэтому это проще, и большую часть времени мы будем думать о них вот так

Что математический анализ делает с функциями?
Во-первых, их необходимо изучить, или процессы, которые они описывают. Например, по зависимости скорости от времени вычислить, насколько увеличивается объем шарика с увеличением его диаметра, найти зависимость пройденного расстояния и силы, действующей на предмет, найти, какое минимальное значение будет иметь резистор в цепи, сколько большую работу совершит газ в двигателе и т д. То есть, по сути, мы можем преобразовывать одни функции в другие функции, относящиеся к тому же самому (движение и скорость, ток и заряд и т д., ну думаю вы поняли)
во-вторых, мы можем определить саму функцию из связи функций с одинаковыми свойствами (перемещение и скорость), и помочь нам в этом могут дифференциальные уравнения. То есть, если мы знаем связь между ускорением и перемещением (например, дифференциальное уравнение пружинного маятника ma = -kx), то мы можем определить связь между перемещением, скоростью, ускорением и временем. Например, удобнее определить связь между скоростью и перемещением задачи
Вообще говоря, подводя итог, с помощью математического анализа мы можем преобразовать и найти функции, необходимые для решения задачи, точно так же, как в школьной алгебре мы преобразуем и находим числа, подходящие для решения задачи

Ну и как вы понимаете, если мы знаем необходимый функционал, то у нас есть вся необходимая информация о любом процессе. Например, если мы выведем временную зависимость тока на резисторе, то мы сможем вычислить значение тока в любой момент времени. Ну и наоборот, определите, в какой момент времени он будет, скажем, 1 ампер. Обычно это дает нам всю информацию о токе, протекающем в резисторе

Производная и дифференциал: как маленькие величины решают большие задачи

первое понятие будет производным. Производной функции f является функция f' (f имеет простое число, являющееся одним из символов), которая показывает, как быстро изменяется функция f. Что это значит? Давайте посмотрим на пример. Давайте посмотрим на мотоциклиста, едущего по шоссе. Его положение на нем описывается функцией x(t), которая фактически описывает, насколько далеко от начального момента находится мотоциклист (с учетом направления, конечно). Тогда производная x'(t) представляет собой скорость мотоциклиста (как функцию времени). Эта производная показывает, как быстро меняется положение мотоциклиста (да, сразу замечу, скорость здесь может быть отрицательной - это когда координаты уменьшаются)
Приведу еще несколько примеров: производная скорости показывает, насколько быстро изменяется скорость, то есть ускорение, а производная заряда, проходящего по проводу, представляет собой количество заряда, проходящего через провод в секунду, то есть силу тока. Обратите внимание, что во всех примерах производные берутся по времени

Однако я дал неформальное определение. Давайте сделаем еще один шаг вперед. Формально: Производная — это отношение бесконечно малого приращения функции к бесконечно малому приращению параметра в данной точке. Звучит страшно и непонятно, но давайте сейчас разберемся

вернемся к мотоциклисту и выберем момент времени. Я обозначим это как t1. При этом с помощью нашей функции x мы можем определить координаты мотоциклиста, обозначим их как x1. Теперь выбираем второй момент времени t2 и аналогично вычисляем значение функции в этот момент (обозначаем x2). Теперь разделим разницу между x1 и x2 на разницу между t1 и t2. Что мы получаем – получаем скорость (v = (x2 – x1)/(t2 – t1)). Ну почти) Здесь мы используем метод равномерного движения: пройденное расстояние делим на время. Только здесь мы не делим весь путь на все времена, а выделяем пути и времена для определенных частей движения. Но подождите, это не та скорость, наше движение здесь не равномерное, посмотрите на график:

да, скорости, которые мы нашли до сих пор, неверны но. Что произойдет, если мы начнем перемещать t2 ближе к t1.

Обратите внимание: MIT: ядерная энергия является неотъемлемой частью будущего энергетики с низким содержанием углерода.

чем меньший масштаб мы используем, тем менее изогнутой будет выглядеть диаграмма. Посмотрите на четвертую и пятую картинки – формы неотличимы от прямых линий. То есть, чем меньший масштаб мы используем, тем более равномерным становится движение. Что будет, если обнулить разницу между t1 и t2 — движение между этими точками можно без зазрения совести считать равномерным. Затем разделите разницу между x2 и x1 на разницу между t2 и t1, чтобы получить правильное значение скорости. Скорость в момент времени t1, так как мы не касаемся этой точки, а приближаем ее к t2 (хотя в целом разницы с t2 нет, важно понимать, что таким образом мы получаем только скорость самой точки)

lim представляет собой предел, то есть тенденцию изменения значения t2 к t1

кстати, здесь можно отметить геометрический смысл производной: она равна угловому коэффициенту тангенса, или тангенсу угла между касательной и горизонтальной осью (в данном случае t — осью аргумента). Ведь согласитесь, когда мы почти соединим t1 и t2, прямая, проведенная через график в этих точках, станет касательной. Ну и для наглядности вот картинки:

Зеленая линия — это просто касательная линия. Обратите внимание, что на первой картинке он полностью перекрывает график функции

однако у читателя может возникнуть закономерный вопрос: если мы снова ускоряемся, то почему нам сейчас описывают это формальное определение? Ну, во-первых, чтобы знать, как правильно определяется производная и каково ее геометрическое значение), а во-вторых, чтобы приблизиться к таким вещам, как дифференциалы. Опуская некоторые тонкости, разница между x1 и x2 и между t1 и t2 представляет собой дифференциал. То есть бесконечно малые изменения функций и параметров. Дифференциал функции (в данном случае у нас остается функция от мотоциклиста) равен dx = x2 - x1, а дифференциал параметра dt = t2 - t1 (заметим, что в аналитическом виде дифференциал равен нулю (т.е их точные значения), поэтому мы установили разности x2 – x1 и t2 – t1 равными нулю, при использовании приближенных численных методов они не будут равны нулю). Как известно, производную можно также назвать отношением дифференциалов. И, в полную силу, можно записать знак производной (в конце :)):

также стоит написать несколько статей о том, как использовать различия. Да, на самом деле мы можем рассматривать dt и dx как обычные переменные. То есть мы можем умножить дифференциал, разделить его и так далее. Более того, он обладает теми же свойствами, что и производные (ну есть еще производные от сумм, произведений и т д)

Также можно свести дифференциалы к десятичным знакам более высокого порядка, что я проиллюстрирую на примере сохранения энергии пружинного маятника:

Кстати, рассмотрение бесконечно малых частей процесса — один из способов решения физических задач

Остается последний вопрос: как определить производные и дифференциалы? Ладно, теперь с дифференциалом все понятно, формулы есть, а что же с производными? По определению количество превышает лимит) шучу. Чтобы научиться рассчитывать производные, я оставил эту ссылку. Как только разберешься, что это за зверь, это называется деривацией, и овладеть искусством дифференциации нетрудно

Что такое интеграл, зачем он нужен и каким бывает

Интеграл (вернее, интеграл) будет иметь множество определений. Конечно, все это взаимосвязано, но использование нескольких определений одновременно позволяет легче понять, что это такое и как этим пользоваться так...

Интеграл — это обратная операция дифференцирования. То есть, если мы проинтегрируем функцию, а затем продифференцируем ее, мы снова получим ту же самую функцию. Опять же, мы можем сравнить это с алгеброй: если мы умножим число на 2, а затем разделим его на 2, мы снова получим то же число, или если мы найдем квадратный корень числа, а затем возведем его в квадрат, мы снова получим исходное число

возвращаясь к мотоциклисту из предыдущей главы, мы теперь предполагаем, что знаем, как его скорость зависит от времени. Хотя нет, это не так. Позволяет нам узнать его ускорение в зависимости от момента времени (например, полученное с акселерометра). Затем, если мы один раз проинтегрируем ускорение, мы получим скорость мотоциклиста как функцию времени, а проинтегрировав еще раз, мы получим координатную функцию (тот самый x(t), который, как мы думали, мы знали в предыдущей главе):

Интеграл – это сумма бесконечно малых величин. Я объясню, что это значит, на примере. Давайте возьмем емкость и наполним ее водой. Теперь у нас возникает вопрос: с какой силой вода давит на стенки емкости? Простое выражение «сила = давление, умноженное на площадь» здесь не работает, потому что наше давление непостоянно. Поэтому разрежем нашу емкость на множество маленьких колец:

Когда мы делим контейнер на бесконечно малые кольца, мы можем считать, что давление постоянно по всему кольцу (аналогично тому, что мы сделали с производной, масштабируя график и сближая точки). Это значит, что мы можем рассчитать давление на кольцо по простой формуле: умножить давление на кольцо на его бесконечно малую площадь. Теперь, если сложить силу каждого такого кольца (которая тоже бесконечно мала), то мы получим искомую силу:

Кстати, аналогичным методом можно получить геометрический смысл интеграла – площадь под графиком. Ведь посмотрите, здесь аналогичный подход: небольшую часть площади под фигурой можно записать небольшим шагом как произведение аргумента функции (чье значение также будет высотой полученного прямоугольника) (длины прямоугольника), а затем Сложив, получим площадь под графиком:

На картинке вы могли заметить, что интегралы пишутся по-другому. Таким образом, следующие символы:

Кстати, вы можете заметить, что в первом определении мы имеем неопределённый интеграл, а во втором определении, наоборот, это определённый интеграл. Помимо этого, здесь можно заметить особенность: неопределенный интеграл будет зависеть еще и от интегральной переменной (ну сразу замечу, что для неопределенного интеграла надо знать значение хотя бы одной первообразной, чтобы определить константу в) для определенных интегралов интеграл по существу становится числом, а полученная после интегрирования функция не зависит от интегральной переменной (кроме случая, когда предел интеграла зависит от интегральной переменной, то есть: они являются функциями)

Зачем мне баллы? Ну, думаю, из примера понятно: интегралы, как и производные, позволяют преобразовывать функции. Преобразуем скорость в координаты, по силе тока можно найти заряд через провод, по давлению газа на его объем можно получить работу, совершенную газом при его расширении, а по давлению столба жидкости мы можем вывести силу

Ну да, ссылки о том, как научиться интегрироваться, есть: одна (в статье есть ссылки на другие статьи) и две ссылки с сайта Александра Емелина, и на другой сайт с более полной информацией, но более сложным. Хотя, с точками мы уже разобрались, так что ничего сложного)
Ну да, во всех трех ссылках используются неопределенные интегралы. Но не волнуйтесь: в определенный момент вам просто нужно заменить цифры или буквы, и вы обязательно сможете решить эту проблему, никакого обучения не требуется)

Итак, мы были почти во всеоружии. Почему почти? Но поскольку кроме описанных мною простых интегралов существуют и другие интегралы: двойные интегралы, тройные интегралы, интегралы по контурам и интегралы по поверхностям. Они немного не по теме данной статьи (мы увидим их позже при обсуждении теории поля), поэтому я рассмотрю их очень кратко с примерами

двойные баллы. Предположим, что двумерная система координат (ось X и ось Y). Предположим, у вас есть функция h(x, y), отражающая зависимость от высоты, например высоты вашей виллы. Если вы проинтегрируете это значение h по площади поверхности, на которой расположен дом, вы найдете объем, занимаемый домом. Также можно привести пример момента инерции сечения из прочного материала: здесь можно суммировать моменты, возникающие от механических напряжений в сечении. Ну а наша собственная цельная поверхность - это поперечное сечение

Тройные баллы. Предположим, у вас есть 3D-система координат и функция, показывающая зависимость плотности объекта от координат его центральной точки. А затем, если вы проинтегрируете это по объему объекта, вы получите его массу

точки на контуре. Допустим, вы строите забор (неважно где, важно, что вы строите :)). Опять же, предположим, что у вас есть двумерная система координат и функция h(x,y), которая связывает высоту забора с его координатами на земле. Помимо прочего, вы выбираете расположение забора (рисование линии на плоскости, т.е создание контура). Затем проинтегрируйте h по этому контуру и вы получите площадь забора, который планируете построить

Поверхностный интеграл. Существует заряженная непроводящая сфера, на которую действует неоднородное электрическое поле. Интегрировав электрическое поле по поверхности сферы, найдем силу, с которой это самое поле действует на сферу (суммируем силу, действующую на каждую малую часть поверхности)

Хорошо, тогда. Большинство теорий уже позади. Но это не повод останавливаться — переходим к следующей главе

Дифференциальные уравнения - уравнения для функций

дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых неизвестными являются функции. Как вы понимаете, в таком уравнении мы имеем не только функцию, но и ее производные. Очень похоже на обычное уравнение, в котором нам нужно найти Равенство. Давайте посмотрим на некоторые из них:

согласен, после изучения теории все выглядит просто. Кстати, как и алгебраические уравнения, мы можем образовывать системы дифференциальных уравнений (классические классические — уравнения орбитального движения, ссылку на вики оставлю). Кроме того, в диффузоре может быть несколько независимых переменных, то есть когда искомая функция является функцией нескольких переменных (параметров) (но мы их сегодня касаться не будем, а также обсудим уравнения в частных производных вместе с теорией поля). Больше о них, пожалуй, и сказать нечего (ну кроме как решить)

У дифференциалов также есть свои категории:

Что касается решения таких уравнений. Ну, во-первых, вам просто нужно применить полученные ранее знания: подстановку переменных так, чтобы решение было легко найдено (сведено к уравнениям, для которых уже есть алгоритм решения), дифференцирование и интегрирование. Во-вторых, для некоторых уравнений есть алгоритмы решения: С сайта Александра Емелина - Диффузоры первого порядка, Диффузоры второго порядка, Диффузионные системы (да, там есть еще статьи, но на те, которые я оставляю, обычно есть ссылки на другие статьи), там будут нет проблем); более сложный и обширный материал: виды уравнений и способы решения. В-третьих, если уравнение невозможно решить на бумаге, можно использовать численное решение (на самом деле большинство диффузоров можно решить только численно)

Ладно, вот и закончился мини-курс математического анализа!

В следующей статье мы рассмотрим, как всем этим пользоваться, на примерах различных типов головоломок. А пока... Желаю всем хорошего настроения и функциональной дифференциации :)

Больше интересных статей здесь: Новости науки и техники.

Источник статьи: Как понять матанализ и решать им задачи классической физики | Часть 1.