ОБОСНОВАНИЕ - ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОЧЕМУ МОЙ МЕТОД r- ПОЛОС РЕШАЕТ ЗАДАЧУ n- СЕКЦИИ УГЛА ДЛЯ НЕЧЁТНЫХ n.
Михайлов Сергей Леонидович
smthrsol@internet.ru
Ранее сделанные сообщения автора (ник smthrsol) на эту тему [1] содержат соответствующие геометрические построения циркулем и линейкой без делений. Но не содержат строгого доказательства. Реально оно довольно просто и приводится здесь ниже в неформальной форме обоснования правильности и точности построения для трисекции угла, чего достаточно.
Сначала напомним введённое автором определение понятия «r- полоса». Это часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми, одна из которых, существовавшая до данного построения, называется исходной, а построенная параллельно ей на расстоянии r от неё называется граничной. При всей простоте и известности такого объекта издревле, его акцентированное и успешное применение в задачах рассматриваемого здесь типа ранее автору неизвестно, и потому рекомендуется в широкое практическое применение ([1] 3)).
1. Рассматриваем далее геометрическое построение циркулем и линейкой без делений для угла в 120° и проведя его биссектрису [2] (IV.A.,10, c255) получим результат для угла в 60°. Это удобно и тем, что результат получается сразу для двух разных углов одним построением.
2. Начиная, возьмём произвольный небольшой отрезок длины r для построений различных r- полос. На Рис.1. – построение 3- секции угла ^ABC=60°, когда определяется точка F пересечения двух граничных прямых: r- полосы (d₁) и полосы шириной 2r (a₂).
3. Этим создаётся угол ^FBD=φ и определяется величина отрезка BD – большего катета треугольника ΔFBD как BD=l=r/tgφ, Рис.1. Построением BD определяется также легко, соединяя точку F с такой же точкой G по другую сторону биссектрисы отрезком прямой, и точка D будет в пересечении FG c биссектрисой угла ^ABC тогда.
[IMG]https://s8d4.turboimg.net/t/102323726_2024-05-30_14-26-39_2.png[/IMG]Рис.1.
Трисекция угла ^ABC=60° и ^ABD =30° одним построением:
^MBD =20°, ^OBD =10° соответственно. (Точка O не отмечена на Рис.1. из-за высокой плотности рисунка там, точки F, O, N расположены на BF именно в таком порядке.).
4. Получив l- отрезок, используем его как радиус дуги, соединяющей лучи нашего угла ^ABD =30°=β/2, точки A и D соответственно на них. Далее всё здесь проводится именно для угла ^ABD=30°.
5. Граничная прямая полосы (d₁) от луча BD как исходной в пересечении с дугой создаёт точку O.
6. Соединяя O с D имеем прямоугольный треугольник ΔFOD с r- катетом FD=r.
7. Соединяя точку O с вершиной B получим равнобедренный ΔOBD с углом при вершине B ^OBD=ψ и углом при основании OD равным ^ODB=90°-ψ/2 также.
8. В треугольнике ΔFOD меньший острый угол равен ψ/2 так как его лучи будут взаимно перпендикулярны с лучом BD и высотой из B равнобедренного треугольника ΔOBD тогда.
9. Если соединить D с точкой пересечения ᵕDB(B) дуги с (a₁) прямой, точка M, то получим равнобедренный треугольник ΔMBD. Пусть его основание MD пересекает OB в точке N.
10. Если BN будет высотой, то тогда углы при его вершине равны, т.е. ^MBN=^DBN, что нам и требуется для β- трисекции и MN=DN=MD/2.
11. Отсюда, или MN=DN, или ^MNB=90°=^DNB при проверке нашего построения на трисекцию угла ^ABD здесь, так тогда угол ^MBD при вершине равнобедренного треугольника ΔMBD делится высотой точно пополам, что нам и нужно для обоснования и доказательства факта трисекции, и тогда ^OBD=ψ=^OBM=^ABM, где последний равен первому – по одинаковому частному построению в одинаковой r- полосе.
12. Из п.10 следует такое же общее правило и для n- секции, где нужно будет проверять на равенство треугольник, соседний с аналогом треугольника ΔOBD здесь. Остальные n-2 из той группы равных тогда будут равны треугольнику ΔOBD автоматически.
13. Заметим, что ^MBD=α/3, ^OBD=β/3, α=2β, что и требовалось доказать. При аккуратных построениях абсолютная погрешность как для трисекции, так и для n- секции не превосходит 0.25°, включая и полу-ручной режим бесплатной версии графического пакета Inkscape, но чаще всего не более 0.1°.
14. Комментарий автора:
– применение r- полос определяет точку F, которая служит основой дальнейшего построения. Изменение величины r даёт лишь изменение масштаба картины всего построения, но не более;
– r- полоса (d₁) делит угол на «чётную» и «нечётную» части, что существенно упрощает алгоритм;
– начиная с семи-секции угла, алгоритм обретает рекуррентный характер, так как теперь уже придётся «чётную» часть делить на шесть ((n-1)=6) равных частей, где неминуемо нужно будет решать трисекцию угла, что мы уже умеем успешно делать! Исключение – лишь для «чётной» части типа 2**m, когда такой угол делится серией из m+1 последовательных биссектрис;
– допустимой абсолютной погрешностью результата в угловых построениях вручную общепризнанной считается не более 0.5°. В алгоритме автора погрешность всегда не превосходит и половины этого!
15. Вся эта работа выполнялась автором полностью самостоятельно и по личной инициативе.
Источники информации
1. Сообщения автора в разделе «Высшая математика» от: 1) 13.06.2024, 16-46; 2) 21.06.2024 17-35; 3) 24.06.2024, 17-41.
2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М «Наука», 1974,416 с.
