En Inglaterra la indicación que se usa para señalar la proximidad a un campo de fútbol es geométricamente incorrecta, ya que en ella aparece representado un balón de fútbol formado exclusivamente por hexágonos regulares. Para poder entenderlo vayamos por partes.
El balón de fútbol, por mucho que los comentaristas deportivos insistan en denominarlo «esférico», es un poliedro y no una esfera. Matemáticamente se denomina a la figura geométrica como icosaedro truncado.
En el siglo XVIII el matemático, físico y filósofo suizo Leonhard Euler (1707-1783) formuló un teorema que afirma que en todo poliedro el número de sus caras (C), menos el de sus aristas (A), más el número de vértices siempre es igual a dos: C-A+V =2. Si esta ecuación no se cumple es porque esa figura no se puede realizar.
Si, como aparece en la señal inglesa, en el balón únicamente hubiera hexágonos con «C» caras, cada lado sería compartido por dos caras, por lo que el valor de las aristas (A) sería el número de lados dividido entre dos (A=6C/2).
En cuanto a los vértices (V), cada hexágono tiene seis, cada uno de los cuales es compartido por tres caras, por lo que el número de vértices es igual a seis por el número de caras dividido por tres (V=6C/3).
Si sustituimos estos valores en la ecuación inicial, tenemos que: C – (6C/2) + (6C/3). Simplificando C – 3C + 2C = 0. Dado que no se cumple el teorema formulado por Euler (C-A+V=2), no se puede fabricar un balón –un icosaedro truncado- empleando únicamente hexágonos regulares.
Y con hexágonos y pentágonos?
En la Copa Mundial de la FIFA de 1970 -celebrada en México- hubo una innovación importante: se introdujo un balón con un diseño diferente, se fabricó utilizando pentágonos negros y hexágonos blancos. A esta invención se la bautizó con el nombre de Adidas Telstar, en honor al primer satélite comercial de comunicaciones de la historia, que tenía un diseño geométrico.
Euler había señalado siglos atrás que todo poliedro que contenga hexágonos y pentágonos, el número de estos últimos será siempre doce, en independencia del número de hexágonos. En un balón de fútbol, podemos comprobarlo fácilmente, hay doce pentágonos y veinte hexágonos –treinta y dos caras en total-.
Si hay veinte hexágonos y cada uno tiene seis aristas habrá un total de ciento veinte aristas; como hay doce pentágonos el número de aristas se elevará hasta ciento ochenta. Sin embargo, como cada arista es compartida, el número final de aristas y, por tanto, de costuras, es noventa. Este poliedro rellena el 86,74% de una esfera, cifra que se eleva hasta el 95% si se hincha con aire.
¿Hay algún poliedro más esférico?
Los matemáticos han aportado su granito de arena al mundo del fútbol buscando otros poliedros que confieran una mayor esfericidad. Si en la fabricación del balón se usarán únicamente triángulos la esfericidad descendería hasta el 60,55%. Si fuese un dodecaedro, formado exclusivamente por pentágonos, la esfericidad sería del 66,49%.
Si en lugar de usar el icosaedro truncado empleáramos un rombicosidodecaedro, formado por doce pentágonos, treinta cuadrados y veinte triángulos, al inflarlo obtendríamos un 94,32%, antes de ser inflado, una cifra superior a la que conseguimos en la actualidad.
Entonces, ¿por qué no hacemos balones como el «rombi»? El problema radica en que este poliedro tiene ciento veinte aristas, es decir, treinta costuras más que el balón actual, por lo que sería bastante más caro de fabricar.
Para finalizar, una curiosidad sobre la esfericidad de los balones permitidos por la FIFA. Para determinar la esfericidad de un balón se hincha y se mide su diámetro en dieciséis puntos diferentes para calcular el diámetro medio. A continuación se calcula la diferencia entre el diámetro máximo y el mínimo. Este número es la diferencia en porcentaje entre ambos diámetros sobre el diámetro medio y, para las competiciones de la FIFA, se exige que no supere el dos por ciento.
M. Jara
Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación
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