Los problemas de eliminación matemática están inspirados, probablemente, en episodios históricos. Uno de los más conocidos y antiguos es la
decimatio romana –eliminar uno de cada diez- un instrumento de disciplina que castigaba los actos de sedición y cobardía de una legión. Básicamente, el castigo consistía en la elección por sorteo de uno de cada diez hombres de todas las cohortes para ser asesinado a golpes y palos por sus compañeros.
De todos los acertijos de eliminación el más famoso es el de Josefo. Hace referencia a Flavio Josefo (37-95), historiador judío y autor del libro «De bello judaico» («La guerra de los judíos»). Este personaje vivió en época del emperador Nerón y consiguió sobrevivir al castigo que impuso Roma para sofocar la rebelión judía gracias a las matemáticas.
Se cuenta que durante la insurrección judía que tuvo lugar en Galilea en el año 66, Josefo y otros 39 simpatizantes judíos fueron acorralados en una cueva por los romanos. Antes de ser atrapados y convertidos en esclavos, los sitiados preferían la muerte.
Josefo, que no era partidario de la inmolación, encontró una solución imaginativa. Propuso a sus compañeros que debían formar un círculo y matarse entre ellos siguiendo un ritual matemático: el primero mataría al segundo y pasaría la espada al tercero, el cual acabaría con el cuarto, pasaría la espada al quinto y así sucesivamente. De esta forma el azar elegiría al judío que no tendría más remedio que suicidarse. Evidentemente, con este juego matemático Flavio Josefo esperaba poder salir con vida de la cueva.
¿En qué posición se colocó Josefo?
Según la historia, la cual tiene evidentemente sus claroscuros, Josefo calculó rápidamente el lugar que debía ocupar el último y el penúltimo superviviente. Una la eligió para sí mismo y otra para uno de sus mejores amigos.
Empezó el ritual y los judíos procedieron a realizar los asesinatos de la forma acordada, al final tan sólo quedaron dos: Josefo y su mejor amigo. El historiador judío logró convencerle para que se entregaran a los romanos y así pudieran evitar una muerte absurda.
El historiador judío atribuyó a la Providencia el haber salido con vida de la cueva, aunque sabía que no era así, que todo había sido producto de su agilidad mental y la resolución en un tiempo récord un complejo problema matemático.
Intentemos conocer el lugar que ocuparon los supervivientes en el círculo. Si el número de prisioneros iniciales hubiese sido 4, en la primera vuelta comienza matando el 1, morirían el 2 y el 4, y la espada volvería al 1, que en la segunda vuelta acabaría con la vida del 3, y se salvaría el 1.
Si el número de prisioneros fuese 8, en la primera vuelta comienza el 1, morirían el 2, el 4 y el 6, y la espada retornaría al 1, que en la segunda vuelta acabaría con el 3, la espada pasaría al 5, que acabaría con 7, y en la tercera vuelta el 1 acabaría con el 5.
De esto se deduce fácilmente que en la primera vuelta mueren todos los pares (congruente con 0 y módulo 2): 2, 4, 6, 8,… Nadie se colocaría en un número par, salvo que quisiera inmolarse.
En la segunda vuelta mueren todos los congruentes con 3 y módulo 4: 3, 7, 11, 15, 19… En la tercera vuelta mueren todos los congruentes con 5 y módulo 8: 5, 13, 21, 19… En la siguiente los congruentes con 9 módulo 16: 9, 25.
De este cálculo, que se puede reproducir fácilmente con papel y lápiz, se deduce que Josefo se colocó en el lugar 17, salvándose junto con el judío colocado en la posición número 33.
Protegido del emperador
Una vez que salieron de la cueva Josefo solicitó hablar con el general romano –Flavio Vespasiano- alegando que tenía un mensaje muy importante que comunicarle. El judío le explicó que había tenido un sueño en el que Vespasiano se convierte en emperador.
En aquel momento el trono imperial era hereditario –los cinco primeros emperadores pertenecían a la dinastía Julio-Claudia-, y el general no tenía lazos de sangre con Nerón, por lo que todo hacía presagiar que de ninguna forma alcanzaría el ansiado trono imperial. A pesar de todo, Vespasiano sintió cierta simpatía por el judío, le perdonó la vida y le mantuvo a su servicio. Cuál sería la sorpresa, tanto de Josefo como de Vespasiano, cuando este último se convirtió en el noveno emperador romano en el año 69.
M. Jara
Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación
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